미분

미분법

미분법은 어떤 그래프 f(x)의 한 점에서의 변화량을 구하는 방법입니다. 어떤 그래프의 한 점에서 접선을 그릴 수 있을 때 접선의 기울기를 구하는 과정과 같습니다.
예를 들어 좌표 (x, y)의 한 점이 (x’, y’)으로 변화되었다고 하면 이때의 기울기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\[ 기울기 \,=\, \frac { y’ -y }{ x’-x } \, = \, \frac{Δy}{Δx} \]

보통 과학자들은 변화량으로 그리스 문자 ‘Δ(delta)’를 넣어서 Δx, Δy라고 표현합니다. Δx는 x의 변화량으로서 (x’ – x)와 같습니다.

고전 역학에서의 미분

미분은 뉴턴과 라이프니츠가 각각 발견하였다고 전해집니다.
뉴턴은 물체의 운동을 분석하기 위해 미분을 도입하였습니다.
고전역학에서 주로 다루는 미분의 예는 다음과 같습니다.

물체의 위치를 시간에 대해 미분하면 속력이 됩니다. \( v\,=\,\frac{Δs}{Δt} \)
물체의 속력을 시간에 대해 미분하면 가속력이 됩니다. \( a\,=\,\frac{Δv}{Δt} \)
물체의 운동량을 시간에 대해 미분하면 힘이 됩니다. \( f\,=\,m\frac{Δv}{Δt} \)
반지름 r인 구의 부피( \( \frac{4}{3}\pi r^3 \) )를 r로 미분하면 구의 표면적( \( 4\pi r^2 \) )이 됩니다.