気体分子の根二乗平均速度(Vrms) - Java実験室

気体分子の根二乗平均速度(Vrms)




* 上記シミュレーションの気体分子はすべて同じ種類であり、分子の色は単に識別のためのものです。

気体分子運動論

気体分子運動論は気体分子の運動を説明するための仮説です。この仮説を説明するために、次のような仮定を満足させる理想気体を仮定します。 (위키백과)

  1. 気体分子は、質量は存在するが、体積はありません。
  2. 気体分子は、互いに力を与えられない。
  3. 気体分子が起こすすべての衝突は完全弾性衝突である。
  4. 気体は、任意の温度や圧力にも決して液化または昇華されない。
  5. 気体分子の平均分子運動エネルギーは絶対温度のみ比例し、分子の大きさ、形状、種類には影響を受けない。

気体分子の根二乗平均速度

壁の断面積が\(A\)であり、長さが\(L\)である箱の中に質量が\(m\)である気体粒子が含まれています。

Root-Mean-Square Velocity of Gas Molecules (Vrms)

気体粒子は壁と完全弾性衝突し、\(x\)、\(y\)、\(z\)軸方向に無秩序な直線運動をしています。
気体粒子が\(v_x\)の速度を持って箱の\(A\)面と衝突する場合を考えてみましょう。壁面\(A\)に影響を与える運動は\(x\)軸成分だけなので、利便性のためにしばらく\(y\)軸と\(z\)軸は思わない。
気体粒子は壁面\(A\)と完全弾性衝突をします。衝突前後の粒子の運動量は、次のように変わります。

\[ \Delta P_x = mv_x – (-mv_x) = 2mv_x \]

気体分子が箱の\(A\)壁面と衝突した後、反対側の壁面と衝突して、再び\(A\)壁面を衝突するの時間は、次のとおりです。

\[ \Delta t = \frac{2L}{v_x} \]

気体分子が毎秒壁面\(A\)に加える衝撃力\(F\)は、運動量の変化量を時間で分けて入手することができます。

\[ F = \frac {\Delta p}{\Delta t} = \frac {2mv_x}{\frac{2L}{v_x}} = \frac{mv_{x}^{2}}{L} \]

壁面\(A\)に加わる圧力\(P\)は、単位面積当力として定義されるので、気体の圧力は、次のとおりです。(体積\( V = AL\))

\[ P = \frac{F}{A} = \frac{\frac{mv_x^2}{L}}{A} = \frac{mv_x^2}{AL} = \frac{mv_x^2}{V} \]

気体分子が2個以上の場合、気体分子が壁面\(A\)に加える圧力\(P\)の大きさは、次のとおりです。

\[ \begin{align} P &= \frac{mv_{x1}^2}{V} + \frac{mv_{x2}^2}{V} + \frac{mv_{x3}^2}{V} \cdots\\ &= \frac{m(v_{x1}^2 + v_{x2}^2 + v_{x3}^2 \cdots )}{V} \\ &= \frac{mN \overline{v_x^2}}{V} \end{align} \]

\(N\) = 気体分子の数
\(\overline{v_x^2}\) = 粒子の\(x\)軸方向速度の二乗の平均値

パスカルの原理に沿って、気体の圧力は、すべての壁に渡って均一に適用されます。
したがって、上で求めた圧力\(P\)は、単に壁面\(A\)のみ該当するものではなく、箱全体の壁にも同様に適用されます。

さて、\(y\)軸と\(z\)軸方向を考慮してみましょう。気体粒子の速度の二乗(\(v_{rms}^{2}\))の平均は、ピタゴラスの定理として表すことができます。

\[ \overline{v_{rms}^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} \]

理想気体分子の運動では、すべての軸で同じ自由度を持つため、次のように簡単に考えることができます。

\[ \overline{v_{rms}^2} = 3\overline{v_x^2} \\
\therefore \overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v_{rms}^2} \]

したがって、箱の全体に加わる圧力は、次のとおりです。

\[ P = \frac{1}{3} \frac{mNv_{rms}^2}{V} \]

気体粒子の全質量\(mN\)は、\(nM\)(=没収(\(n\))×モル質量(\(M\)))としても表すことができます。

\[ P = \frac{1}{3} \frac{nMv_{rms}^2}{V} \\ \therefore PV = \frac{1}{3} nMv_{rms}^2 \]

上記の結果は、理想気体の状態方程式(\(PV= nRT\))と一致する必要があります。

\[ (PV=\,)\:\:\:\: \frac{1}{3} nMv_{rms}^2 = nRT \]

上記の式から二乗平均速度(\(v_{rms}^2\))は、絶対温度 \(T\)に比例し、モル質量(\(M\))に反比例することを知ることができます。

\[ \overline{v_{rms}^2} = \frac{3RT}{M} \]

根二乗平均速度(\(v_{rms}\))は、二乗平均速度(\(v_{rms}^2\))に平方根をとったものです。

\[ v_{rms} = \sqrt {\frac{3RT}{M}} \]

このように根二乗平均速度は、分子の種類や温度による関数として明確に定義することができ、一定の条件の下で、その値が変動していません。

気体分子の平均速度

平均速度は、気体分子の速度を算術平均として計算した値です。二分子が衝突したときに、運動量は保存されるが、平均速度はずっと変わります。気体粒子の数が十分に多いと仮定した平均速度 < \(v\) >は、次のとおりです。(Maxwell-Boltzmann確率分布式から誘導、誘導過程は省略)

\[ < v > = \sqrt {\frac{8RT}{\pi M}} \]

平均速度 < \(v\) >は、根二乗平均速度 \(v_{rms}\)よりも少し小さい値を持ちます。
そして、平均速度は一定の値を維持していない、少しずつ変化します。分子の数が少なくなるほど変動が激しくなります。