無限級数, 等比數列





等比数列(とうひすうれつ、または、geometric sequence)は、

各項が、その前項と一定の比で数列を指します。一定の比で使用される値を公比(通常はrで表示)と呼ばれます。
たとえば、最初項aであり、公比がrの等比数列は次のとおりです。

\[ a,\quad ar,\quad a{ r }^{ 2 },\quad a{ r }^{ 3 },\quad a{ r }^{ 4 }… \]

公比が1よりも大きい場合には、数列の値はますます大きくなります。
たとえば、最初の項が1であり、公比が2である場合、

\[ 1,\quad 2,\quad 2^{ 2 },\quad { 2 }^{ 3 },\quad { 2 }^{ 4 }… \]

公比が0〜1の間の値である場合、数列の値はますます小さくなります。
たとえば、最初の項が1であり、公比が0.5(=1/2)である場合には、

\[ 1, 0.5, 0.5^{ 2 }, { 0.5 }^{ 3 }, 0.5^{ 4 }… = 1, \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 8 } , \frac { 1 }{ 16 } … \]

等比数列は公比によって次のような特徴が表示されます。

  1. r > 1 : 項の値がますます大きくなります。
  2. r = 1 : すべての項の値が同じになる。
  3. 0 < r < 1 : 項の値がますます小さくなり、指数的に0に近づきます。
  4. r = 0 : 最初の項を除くすべての項が0になります。
  5. -1 < r < 0 : マイナス( - )記号を交互に表示され、指数関数的にゼロに近づきます。
  6. r = -1 : 項の絶対値は同じだが、マイナス( – )記号は続く交互に表示されます。
  7. r < -1 : 項の値がどんどん大きくなり、マイナス( - )記号は続く交互に表示されます。

無限等比級数

等比数列の項を継続的に加えていくと等比級数になります。
公比が1以上である場合には、等比級数は無限に大きくなります。逆に、公比の絶対値が1よりも小さい場合には、等比級数は一定値に近づく傾向があります。

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