無限級数, 等比數列

等比数列（とうひすうれつ、または、geometric sequence）は、

各項が、その前項と一定の比で数列を指します。一定の比で使用される値を公比（通常はrで表示）と呼ばれます。
たとえば、最初項aであり、公比がrの等比数列は次のとおりです。

$$a,\quad ar,\quad a{ r }^{ 2 },\quad a{ r }^{ 3 },\quad a{ r }^{ 4 }…$$

公比が1よりも大きい場合には、数列の値はますます大きくなります。
たとえば、最初の項が1であり、公比が2である場合、

$$1,\quad 2,\quad 2^{ 2 },\quad { 2 }^{ 3 },\quad { 2 }^{ 4 }…$$

公比が0〜1の間の値である場合、数列の値はますます小さくなります。
たとえば、最初の項が1であり、公比が0.5（=1/2）である場合には、

$$1, 0.5, 0.5^{ 2 }, { 0.5 }^{ 3 }, 0.5^{ 4 }… = 1, \frac { 1 }{ 2 } ,\frac { 1 }{ 4 } , \frac { 1 }{ 8 } , \frac { 1 }{ 16 } …$$

等比数列は公比によって次のような特徴が表示されます。

1. r > 1 : 項の値がますます大きくなります。
2. r = 1 : すべての項の値が同じになる。
3. 0 < r < 1 : 項の値がますます小さくなり、指数的に0に近づきます。
4. r = 0 : 最初の項を除くすべての項が0になります。
5. -1 < r < 0 : マイナス（ - ）記号を交互に表示され、指数関数的にゼロに近づきます。
6. r = -1 : 項の絶対値は同じだが、マイナス（ – ）記号は続く交互に表示されます。
7. r < -1 : 項の値がどんどん大きくなり、マイナス（ - ）記号は続く交互に表示されます。

無限等比級数

等比数列の項を継続的に加えていくと等比級数になります。
公比が1以上である場合には、等比級数は無限に大きくなります。逆に、公比の絶対値が1よりも小さい場合には、等比級数は一定値に近づく傾向があります。