微分法

微分法は、いくつかのグラフf(x)の一点での変化量を求める方法です。いくつかのグラフの一点で接線を描くことができるとき接線の傾きを求める過程と同じです。
例えば、座標(x、y)の点が(x’、y’)に変化したとすると、この時の傾きは、次のように求めることができます。

\[ 傾き = \frac{{y}’ – y}{{x}’ – x} \]

通常科学者たちは変化量に、ギリシャ文字「Δ(delta)」を入れてΔx、Δyと表現します。Δxは、xの変化量として(x ‘ – x)と同じです。

\[ 傾き = xに対して、yの変化量 = \frac{ \Delta y}{\Delta x} \]

このとき、「yをxに対して微分した。」と言います。

古典力学での微分

微分はニュートンとライプニッツがそれぞれ発見したと伝えています。
ニュートンは、物体の運動を解析するために微分を導入しました。
古典力学では主に扱う微分の例は次のとおりです。

物体の位置を時間について微分すると、速度になります。   \( v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \)
物体の速度を時間について微分すると、加速力になります。   \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \)
物体の運動量を時間について微分すると、力になります。   \( f = m \frac{\Delta v}{\Delta t} \)
半径が「r」であるボールの体積(\( \frac{4}{3} \pi r^3 \))を「r」に対して微分すると、ボールの表面積(\( 4 \pi r^2 \))になります。