振り子を動かす力

重力による張力

物理学では、張力は、二つの物体を接続したひもにかかる力です。一般的に、張力はひもの両端からひもの中心に向かうものと計算します。
長さが「$l$」である振り子を、「$\theta_m$」角度で持ち上げた場合を考えてみましょう。ひもの質量はないと想定します。

振り子に加わる力の源泉は、重力(=$mg$)です。この重力は、次の二つの力で分解されます。

• 「重力による張力」 T = $mg\cdot cos\theta$
• 「重力によって振り子を動かす力」 = $mg\cdot sin\theta$ (= T と mg のベクトル合計)

振り子の求心力

振り子が最高点から降りてくると、さらに一つの力が生じます。振り子の回転運動を維持するための求心力です。
振り子の長さが「$l$」であり、速度が「$v$」である場合、求心力は、次のとおりです。

$$F=\frac{mv^2}{l}$$

求心力も、「重力による張力」と同様にひもの端から中心に向かいます。

ひもに加わるすべての張力

ひもに加わるすべての張力は、次のように計算することができます。

$$\begin{align} すべての張力 &= 重力による張力 \, + \, 求心力 \\&= mg \cdot cos \theta \, + \, \frac{mv^2}{l} \end{align}$$

上記の式で、「$v$」と「$l$」を「$\theta$」に関連した式で簡単に作成します。
最高振幅が「$\theta_m$」であり、現在の振幅が「$\theta$」である振り子を考えてみます。

エネルギー保存の法則により、増加された運動エネルギーは減少された位置エネルギーと同じです。

$$\frac{1}{2} mv^2 = mgl(cos \theta – cos \theta_m ) \\ \therefore v^2 = 2gl(cos \theta – cos \theta_m )$$

上記の式を張力に代入してみると、

$$\begin{align} すべての張力 &= 重力による張力 \, + \, 求心力 \\&= mg \cdot cos \theta \, + \, \frac{m \cdot 2gl(cos \theta – cos \theta_m )}{l} \\&= mg \cdot cos \theta \, + \, 2mg(cos \theta – cos \theta_m ) \\&= mg(3cos \theta – 2cos \theta_m ) \end{align}$$

になります。