重力列車

このシミュレーションのように、地球に穴を開けて物を投げ入れると、地球の反対側に送信することができます。
このシミュレーションは、摩擦の効果を無視した場合です。
地球は自転せず、均質な固体であると想定しました。
このシミュレーションは、思考実験だけです。現在の技術で地球に深い穴を掘ることはできません。

Newtonの球殼の法則

下の図の粒子に作用する重力の強さはどのくらいでしょうか？

ニュートンは、粒子の外側球殼で作用する重力の合計は「0」であることを明らかにし出した。したがって球の内部の物質のみ重力に関与します。
Newtonの球殼整理を整理すると、次のとおりです。

均質な球殼は、その内部に位置する粒子に、何の重力も作用しない。

実際、地球の場合には、外部地殼が内部よりも密度が小さいので、粒子に作用する力は、深い垂直トンネルに入れてしまえばわずかに増加します。重力値はその後ますます減少して、地球の中心では「0」になります。

地球トンネルの物体に作用する力の計算

粒子に作用する力は、半径「r」の球の内部にある地球の質量「M`」だけに影響を与えます。 したがって、質量「M`」は、

$$M’\, =\, \rho V\, =\, \rho \frac { 4 }{ 3 } { \pi r }^{ 3 }$$

です。「ρ」は均質であると仮定した地球の密度です。

Newtonの重力法則によれば、物体に作用する重力は距離の二乗に反比例して、物体の質量に比例します。
粒子に作用する重力「F」は、

$$F\, =\, \frac { GmM’ }{ { r }^{ 2 } } \, =\, \frac { Gm\rho 4\pi { r }^{ 3 } }{ 3{ r }^{ 2 } } \, =\, (\frac { Gm\rho 4\pi }{ 3 } )r$$

になります。「G」は、万有引力定数、「m」は、物体の質量です。
括弧内の値は、すべての固定された数字としてバネ定数に対応する値です。
その結果、粒子に作用する力は、距離に完全に比例することを知りました。

振動周期の計算

バネにぶら下がっ物のような単調和運動の振動周期は次のとおりです。

$$T\, =\, 2\pi \sqrt { \frac { m }{ K } }$$

「K」は、バネ定数で第二式の（）内の値を代入することができます。
したがって、振動周期は次のように計算されます。

$$\begin{align} T\, &=\, 2\pi \sqrt { \frac { m }{ K } } \, =\, 2\pi \sqrt { \frac { m }{ (\frac { Gm\rho 4\pi }{ 3 } ) } } \, =\, \sqrt { \frac { 3\pi }{ G\rho } } \\ &=\, \sqrt { \frac { 3\pi }{ 6.67\times { 10 }^{ -11 }{ m }^{ 3 }/kg\cdot { s }^{ 2 }\, \cdot \, 5.5\times { 10 }^{ 3 }kg/{ m }^{ 3 } } } \, \\ &\approx \, 5060\, s \end{align}$$

往復時間が約5060秒（=84分）なので、このトンネルが郵便配達に使用される場合、片道配信には約42分かかります。
郵便物が到着したとき、いち早くキャッチ必要です。そうでなければ郵便物は、地球の向こう側まで行って84分後、または戻ってきます。

トンネルを斜め板場合

上の図で球殼を除く「P」の中の質量「M`」は

$$M’\, =\, \rho V\, =\, \rho \frac { 4\pi }{ 3 } \cdot { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 3 }$$

であり、これにより、「P」にかかる力は

$$\begin{align} F\, &=\, \frac { GmM’ }{ { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 2 } } \cdot \frac { r }{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } } \\ &=\, \frac { Gm\rho \frac { 4\pi }{ 3 } \cdot { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 3 } }{ { (\sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } ) }^{ 2 } } \cdot \frac { r }{ \sqrt { { r }^{ 2 }+{ (R\cdot sin\theta ) }^{ 2 } } } \\ &=\, \frac { Gm\rho 4\pi }{ 3 } \cdot r \end{align}$$

したがって、トンネルを斜めした場合でも、周期は変わりません。