アルキメデスの原理 2






浮力を理解しようとして、浸る体積がなぜ重要なのでしょうか?

西暦3世紀前、ギリシャの哲学者アルキメデスが「ユリイカ!」と叫んで浴室を裸に飛び出した逸話はあまりにも有名で、よく知られています。



アルキメデスが発見したのは、果たして何だったか深く考えてみましょう。
これまで知られている学説によれば、アルキメデスが発見したのは次のいずれかのようです。

アルキメデスが発見したことは何でしょうか?

果たしてアルキメデスは何を知っていた叫んだでしょうか?

  1. 「不規則な物体の体積を入手する方法を知った。エウレカ!」
    アルキメデスが風呂に浸かりながら、水が浴槽の外にあふれるのを見て、走れ出た場合は、アルキメデスは、不規則な物体の体積を求める方法を発見された可能性があります。

  2. 「物体が水の中で浮力を受けることが分かった。ユーレカ!」
    第二の可能性としては、アルキメデスが水の中に入るとき、体が軽くなる(体が水に浮く)現象を発見した場合です。
    つまり、浮力を発見したことがあります。

まず、当時の王冠の様子を見てみましょう。

上の写真は、アルキメデスが住んでいた時代の純金の冠の中で最も大きなものです。
王冠は、実際の頭の上に被ることができるように十分に大きく、質量は714gです。
王冠装飾の一部が離れていったことを考慮すれば、質量は1000g程度と予想されます。
王冠の装飾が月桂樹の葉に似ているのは、その時点での冠で発見された共通点です。

王冠を水に浸すと、水位が数cmや上がって行きましょうか?

王冠を水に浸したときに水が上がる高さを求めるためには、王冠の体積を水槽の広さで分割します。王冠の体積は、密度の定義を利用して入手することができ、水槽の広さは王冠のおおよそのサイズを概算して求めることができます。

王冠写真を見ると、装飾が非常に広い面積を占めていることを知ることができます。頭の直径を1とすると王冠全体の直径は約2.5倍程度概算することができます。通常大人の頭の直径を約20cmに概算することができるので、王冠の最長の長さは約50cm程度概算することができます。

したがって王冠を浸すための水槽の直径も50cm程度することができます。水槽の水面の広さは、次のように求めることができます。

水槽の水面の広さ = πr2 = 3.14 x 50cm x 50cm ≒ 7850cm2

最初に、純金の冠の密度は19.3g/cm3ですので、

純金の体積 = 質量/密度 = 1000g/19.3 ≒ 51.8cm3

です。この王冠を7500㎠面積の水槽に浸した場合、水の水面の高さの変化は、

水上昇高さ = 体積/幅 = 51.8cm3/7850cm2 ≒ 0.007cm

であることを約知ることができます。

第二に、王冠に30%の銀混合場合を考えてみましょう。
純金の密度は約19.3g/cm3であり、銀の密度は、約10.6g/cm3です。
1000gの王冠に30%の銀混合されたのは、金のの質量が700g、銀の質量が300gという意味です。この合金クラウンの密度は、以下のように計算することができます。

合金クラウンの体積 = (700g/19.3) + (300g/10.6) ≒ 64.6cm3

この王冠を7500cm2の面積の水槽に浸した場合、水の水面の高さの変化は、

水上昇高さ = 体積/幅 = 64.6cm3/7850cm2≒0.008cm

であることを約知ることができます。

結局、アルキメデスが見つけたことは何ですか?

水槽に王冠を浸し、水が上昇する高さを取得する方法は、いくつかの問題を持っています。まず、王冠が押し出す水の体積がそれほど多くなく、しかも冠を浸す水槽の大きさが大きくならざるをえないので、相対的な水の上昇高さはさらに減少します。
前述したように、水槽に純金の冠を浸す場合、水の上昇高さは約0.007mmであり、30%の合金冠を水に浸す場合、水の上昇高さは約0.008cmです。どちらの場合も、水の上昇高さの差は、約0.001cm程度しかありません。

微弱な高さの差を、その時点での技術で測定した可能性が低く、しかも、表面張力効果により、水があふれてもできないなど、誤差が生じる要因が多すぎます。

王冠を水に浸して、真偽を見つける最も有効な方法は、物体の浮力を利用する方法です。棒はかりの両端に同じ質量の純金と冠をぶら下げ、水に浸すと、密度に応じて異なる浮力を受けるため、はかりは傾きます。
より具体的に浮力の違いを知ってみましょう。

水の中に浸るすべての物体は、その物体が水を押し出した体積に相当する水の重量だけの浮力を受けます。水の密度を1g/cm3と仮定すると、1000g純金の冠の体積は、51.8cm3であり、浮力は「51.8g重」になります。同様に、30%の合金冠の体積は、64.6cm3であり、浮力は「64.6g重」になります。浮力の差は「64.6 – 51.8 = 12.8g重」であり、この程度の質量の差は、アルキメデスの時代の棒はかりを作る技術で十分に測定することができるものと思われます。

このように浮力を利用して、冠の合金かどうかを選別する方法は、表面張力の影響を受けなくてもされるので、簡単で正確です。また、非常に少ない銀や銅が混ざっていても、簡単に合金かどうかを確認することができるという利点もあります。

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