무한등비급수 Geometric Series


등비수열(等比數列, geometric sequence)은

각 항이 그 앞 항과. 일정한 비를 가지는 수열을 말합니다. 일정한 비로 사용되는 값을 공비(보통은 r로 표시)라고 합니다.
예를 들어 첫 항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 다음과 같습니다.

a, ar, ar2, ar3, ar4, ...

공비가 1보다 큰 경우 수열 값은 점점 커집니다.
예를 들어, 첫 항이 1이고, 공비가 2인 경우에는,

20, 21, 22, 23, 24, ... = 1, 2, 4, 8, 16, ...

공비가 0~1 사이의 값인 경우 수열 값은 점점 작아집니다.
예를 들어, 첫 항이 1이고, 공비가 0.5(=1/2)인 경우에는,

0.50, 0.51, 0.52, 0.53, 0.54, ... = 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

등비수열은 공비에 따라 다음과 같은 특징이 나타납니다.

  1. r > 1 : 항의 값이 점점 커집니다.
  2. r = 1 : 모든 항의 값이 같아진다.
  3. 0 < r < 1 : 항의 값이 점점 작아지면서 지수적으로 0에 가까워집니다.
  4. r = 0 : 첫항을 제외한 모든 항이 0이 됩니다.
  5. -1 < r < 0 : 부호가 계속 번갈아 가며 나면서 지수적으로 0에 가까워집니다.
  6. r = -1 : 항의 절대값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 나타납니다.
  7. r < -1 : 항의 값이 점점 커지면서, 부호가 계속 번갈아 나타납니다.

무한등비급수(geometric series)

등비수열의 항을 계속적으로 더해 나가면 등비급수가 됩니다.
공비가 1 이상인 경우 등비급수는 무한정으로 커지는데 반해, 공비의 절대값이 1보다 작은 경우 무한등비급수는 일정값에 가까워지는 (수렴하는) 경향이 있습니다.